Corrélation anormale

Scientific Reports volume 13, Numéro d’article: 9470 (2023) Citer cet article

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La non-analyticité de l’écho de Loschmidt à des moments critiques dans les systèmes quantiques trempés est appelée transition de phase quantique dynamique, étendant la notion de criticité quantique à un scénario hors équilibre. Dans cet article, nous établissons un nouveau paradigme de transitions de phase dynamiques entraînées par un changement soudain des corrélations spatiales internes du potentiel de désordre dans un système désordonné de faible dimension. La dynamique d’extinction entre le hamiltonien pur précédé et le système aléatoire post-trempé révèle une transition de phase quantique dynamique anormale déclenchée par une corrélation désordonnée infinie dans le potentiel de modulation. L’origine physique du phénomène anormal est associée au chevauchement entre deux états étendus distincts. De plus, nous explorons la dynamique d’extinction entre le hamiltonien du système pur précédé et le système pur post-trempé. Fait intéressant, le système trempé subit des transitions de phase quantiques dynamiques pour le potentiel de bruit blanc préquench dans la limite thermodynamique. En outre, la dynamique d’extinction montre également une signature claire de la transition de phase de délocalisation dans le modèle d’Anderson corrélé.

Les transitions de phase quantiques dans un contexte hors équilibre sont devenues un sujet d’intérêt vif dans le domaine de la physique de la matière condensée1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18. Remarquablement, les transitions de phase hors équilibre sont motivées par la progression du temps, ce qui fournit un nouveau cadre pour explorer le comportement dynamique des systèmes quantiques évoluant dans le temps13,14,19,20,21,22. En fait, les concepts de criticités quantiques en situation de non-équilibre ont été élégamment mis en correspondance avec les transitions de phase quantiques dynamiques (DQPT), où les singularités de l’écho de Loschmidt identifient les DQPT des systèmes quantiques trempés23,24,25. L’écho de Loschmidt est une mesure du chevauchement entre les états quantiques de référence et les états quantiques évolués dans le temps, qui a été largement étudiée à la fois théoriquement7,8,9,10,11,12,13,14,19,20,21,22,23,24,25 et expérimentalement2,3,26,27. Un modèle paradigmatique montrant les DQPTs est le modèle Aubry-André après une extinction de la force d’un potentiel incommensurable23,25. En outre, la dynamique hors équilibre du modèle d’Anderson après une extinction de la force du désordre a également été explorée24. Le concept de transitions de phase dynamiques peut également être caractérisé par l’écho d’intrication28,29,30 (le chevauchement des états fondamentaux hamiltoniens d’intrication initiale et de son intrication évoluée dans le temps) des sous-systèmes intégrés dans un système quantique plus grand. De plus, les DQPT peuvent être sondés en mesurant le paramètre d’ordre non équilibré dans le modèle de Lipkin-Meshkov-Glick avec un champ transversal éteint31.

La localisation d’Anderson est une transition de phase quantique entraînée par la force du trouble non corrélé dans certaines conditions, comme le prévoient les travaux fondateurs d’Anderson32. Dans le contexte de la liaison étroite, tous les états propres dans les systèmes de faible dimension sans interaction sont localisés par une quantité infinitésimale de désordre dans la limite thermodynamique33, alors qu’un système tridimensionnel présente une transition métal-isolant à une force de désordre critique avec un bord de mobilité séparant les états étendus et localisés34,35,36,37,38.

On sait que les corrélations dans le potentiel de désordre conduisent à une transition de phase quantique dans le système désordonné corrélé de faible dimension sans interaction39,40,41,42,43,44. Remarquablement, le modèle d’Anderson corrélé affichant la transition métal-isolant à l’exposant de corrélation critique, \(\alpha =2\), avec une arête de mobilité délimitant les états étendus et localisés39. La transition a été réaffirmée sur la base de fortes anticorrélations du potentiel désordonné en limite thermodynamique40. En ce qui concerne la transition de phase, Pires et al.41 ont démontré que la transition de phase de délocalisation peut se produire à \(\alpha \sim 1\) sans bord de mobilité dans le régime perturbatif. Il a été constaté que la longueur de localisation diverge comme \((1-\alpha )^{-1}\) dans la limite \(\alpha \rightarrow 1\) dans la limite thermodynamique, confirmée par les calculs perturbatifs analytiques41,42.

La transition de phase dynamique est un phénomène critique quantique dans des contextes hors équilibre, caractérisé par les propriétés dynamiques des systèmes quantiques trempés. Dans cet article, nous formulons une évolution dynamique non stationnaire de fermions sans interaction avec des énergies aléatoires corrélées en diagonale. La dynamique d’extinction quantique est caractérisée par des changements soudains dans les corrélations internes du potentiel de désordre. Une représentation schématique du processus d’extinction quantique pour deux cas limites, c’est-à-dire les processus d’extinction entre les états avec (i) \(\alpha _{i}=\infty\) (délocalisé), \(\alpha _{f}=0\), (localisé) et (ii) \(\alpha _{i}=0\) (localisé), \(\alpha _{f}=\infty\) (délocalisé), est illustré à la Fig. 1. Nous obtenons une caractéristique universelle de l’écho de Loschmidt pour un état évolutif temporel pur et fortement corrélé initialement préparé. Dans ce scénario, l’écho de Loschmidt devient non analytiquement anormal dans les moments critiques, signalant les DQPT induits par corrélation. Cependant, conventionnellement, l’amplitude de Loschmidt est toujours une pour un sol initialement et des états étendus évolués dans le temps. D’autre part, l’écho de Loschmidt s’avère dépendre de la taille pour un état pur localisé initialement préparé et évolutif dans le temps. Nous observons en outre la transition de délocalisation dans le modèle d’Anderson corrélé du point de vue de l’écho de Loschmidt.

La structure du document est la suivante. La section « Le modèle d’Anderson corrélé » traite du modèle de liaison étroite avec l’effet des énergies aléatoires diagonales. Le caractère aléatoire du potentiel de désordre est démontré comme un trouble corrélé à longue portée sous la densité spectrale de la loi de puissance. La section « L’écho de Loschmidt » se concentre sur les propriétés de l’écho de Loschmidt dans le régime perturbatif pour divers exposants de corrélation. Nous discutons des signatures dynamiques de la transition de phase quantique caractérisée par les zéros de l’écho de Loschmidt en période critique. La dernière section résume nos conclusions.

Ici, notre modèle consiste en des électrons sans spin sans interaction dans un potentiel désordonné avec des corrélations spatiales à longue portée. Le hamiltonien de notre modèle a la forme générale39,45,46,

où t désigne l’énergie de transfert (intégrales sautillantes) entre les sites voisins les plus proches. Pour simplifier, \(t=1,\) et toutes les autres échelles d’énergie sont mesurées en unité de t. Dans le second terme du hamiltonien, \(\varepsilon _{n}(\alpha)\) représente l’énergie aléatoire diagonale d’un électron au n-ième site du réseau de taille N. Le caractère aléatoire du potentiel est démontré comme un désordre spatialement corrélé à longue distance sous densité spectrale, \(S(k)\sim k^{-\alpha },\) avec \(\alpha\) étant la force de corrélation de la densité spectrale qui contrôle la rugosité des paysages potentiels. L’amplitude potentielle désordonnée \(\varepsilon _{n}(\alpha )\), est donnée par39,40,41,42,45,47,

où \(\mathscr {A}_{\alpha }\) est une constante de normalisation, imposant une variance unitaire du potentiel local \((\sigma _{\varepsilon }^{2} = 1)\) avec une moyenne nulle, et \(\phi _{k}\) sont les N/2 phases aléatoires indépendantes qui sont uniformément distribuées dans l’intervalle [\(0,\,2\pi ]\). Il est très important de souligner que la distribution du désordre prend la forme sinusoïdale suivante de longueur d’onde N avec un bruit de fuite,

(Couleur en ligne) Une représentation schématique du processus d’extinction quantique sous le modèle d’Anderson corrélé. Les paramètres \(\alpha _{i}\) et \(\alpha _{f}\) contrôlent respectivement la force du potentiel de modulation de préquance et de post-quettench. Ici, nous montrons deux cas extrêmes de dynamique d’extinction (flèches bleues en gras), c’est-à-dire \(\alpha _{i}=\infty (0)\), et \(\alpha _{f}=0 (\infty )\). Une trempe brutale des variables système déclenche une transition de phase dynamique dans un réseau avec N sites. La ligne pointillée noire délimite les régimes de préquance et de post-quinquant.

dans la limite de la corrélation infinie du potentiel de désordre. Le potentiel désordonné est un potentiel cosinus statique avec une phase aléatoire, et sa valeur locale est dominée par un seul terme, \(k=1\). En conséquence, le système présente un comportement métallique en raison de l’absence de désordre efficace. Dans cette limite, la fonction spectrale du modèle d’Anderson corrélé montre un comportement identique à la densité d’état dans l’espace réel45. Dans la limite de \(\alpha =0\), le système est isolant dans la nature avec tous les états propres localisés. Pour un système fini, la fonction de corrélation normalisée, \(\mathscr {C}_{N}(\alpha ,r),\) du potentiel désordonné peut être formulée comme suit40,41,

Dans la limite thermodynamique, la fonction de corrélation est linéaire pour \(\alpha =2\), convexe pour \(\alpha >2\) et concave pour \(1< \alpha <2\), près de \(\gamma \sim 0\), alors qu’elle devient négative pour \(\alpha >1\) près de \(\gamma \simeq 1\), où \(\gamma =2r/N\) est une distance de réseau sans dimension avec \(\gamma \in [0,\,1]\)40. D’autre part, la fonction de corrélation normalisée à deux points de \(\varepsilon _{n}\) présente des caractéristiques des plus remarquables pour \(\alpha \lesssim 1\). Le corrélateur est stationnaire dans la limite thermodynamique, donnée par

où \(_{1}F_{2}(x)\) est une fonction hypergéométrique. Son comportement asymptotique se désintégrant en \(r^{\alpha -1}\) pour les longues distances:

La fonction de corrélation thermodynamique en fonction de la distance r pour divers \(\alpha\) est représentée à la Fig. 2 (panneau de gauche). La fonction de corrélation s’avère être la fonction delta de Kronecker, \(\mathscr {C}_{\infty }(\alpha =0,r)=\delta _{r,0}\), dans la limite \(\alpha \rightarrow 0\), récupérant le trouble d’Anderson habituel non corrélé. La corrélation augmente avec l’exposant de corrélation, tendant vers l’unité pour \(\alpha \sim 1\) dans la limite thermodynamique comme illustré dans le panneau de droite de la Fig. 2. Cependant, on peut clairement voir une convergence très lente de la corrélation à \(r=1\) vers la limite thermodynamique, en particulier pour \(\alpha\sim 1\). Intuitivement, à \(r>1,\) les fonctions de corrélation convergent vers l’unité pour les approches \(\alpha\) de un.

Un processus d’extinction quantique est un changement brusque dans le hamiltonien \({\hat{\mathscr {H}}}(x)\) d’un système, où x désigne la force du paramètre trempé. Au temps \(\tau =0\), \(\left| \Psi (x)\right\rangle\) est l’état fondamental initialement préparé du système avec la condition de normalisation \(\langle \Psi (x)|\Psi (x)\rangle =1\). Le hamiltonien \({\hat{\mathscr {H}}}(y)\) régit l’évolution temporelle du système pour les temps \(\tau >0\), atteignant l’état unitaire évolutif23,24,25

Un écho de Loschmidt \(\mathscr {L}(x,y,\tau )\) est la version dynamique de la fidélité à l’état fondamental (probabilité de retour), définie par23,24,25,

C’est une mesure du chevauchement entre une référence initiale et l’état évolué dans le temps, joue un rôle central dans la caractérisation des DQPT. La quantité \(\langle \Psi (x)|\Psi (x,y,\tau )\rangle\) est connue sous le nom d’amplitude de Loschmidt \(\mathscr {G}(x,y,\tau )\) du système trempé. Phénoménologiquement, les trempe quantiques déclenchent un état évolutif dans le temps \(\left| \Psi (x,y,\tau )\right\rangle\) sous le hamiltonien post-quench \({\hat{\mathscr {H}}}(y)\) à partir d’un état de référence \(\left| \Psi (x)\right\rangle\).

(Couleur en ligne) Panneau de gauche : La fonction de corrélation normalisée en deux points du désordre local \(\varepsilon _{n}\) dans la limite thermodynamique. La fonction de corrélation tend vers l’unité dans la limite \(\alpha \sim 1\). Panneau de droite : fonction de corrélation de \(\alpha\) pour différentes tailles de système à \(r=1\). Pour les grandes tailles de système finies, les corrélations convergent très lentement vers la valeur thermodynamique dans la limite \(\alpha \sim 1\).

(Couleur en ligne) Échelle log-linéaire: L’évolution temporelle de l’écho de Loschmidt pour divers exposants de corrélation de modulation éteinte \(\alpha _{f}\) avec système de taille \(N=512\). L’état initial est fixé pour être l’état fondamental du hamiltonien précédé avec un potentiel diagonal nul. La courbe pointillée magenta correspondant au résultat analytique à \(\alpha _{f}=\infty\) dans la limite thermodynamique.

Nous nous concentrons maintenant sur la dynamique d’extinction du système désordonné corrélé où l’extinction est caractérisée par un changement brusque de la force des corrélations spatiales dans le potentiel aléatoire diagonal. Initialement, le système est considéré dans un état \(\left| \Psi (\alpha _{i})\right\rangle\), qui est l’état propre du hamiltonien \(\hat{\mathscr {H}}(\alpha _{i})\) de la force de corrélation précédée \(\alpha _{i}\) au temps \(\tau =0\) et \(\left| \Psi (\alpha _{i},\alpha _{f},\tau )\right\rangle\) être l’état évolutif temporel après avoir effectué une dynamique d’extinction abrupte à l’état final du hamiltonien \(\hat{\mathscr {H}}(\alpha _{f})\). L’écho de Loschmidt prend la forme modifiée comme suit:

où \(\alpha _{f}\) définit la force de la corrélation de modulation post-quench au temps \(\tau\).

L’objectif principal est d’étudier la dynamique d’extinction sous modèle corrélé dans différents régimes41,42. Dans le cas de \((\varepsilon (\alpha _{i})=0),\) l’état propre initial du hamiltonien préquel \(\hat{\mathscr {H}}(\alpha _{i})\) est un état d’onde plane \(\left| \Psi (\alpha _{i})\right\rangle =\left| k\right\rangle\) avec énergie propre \(E_{k}=2t\cos (ka)\), où, a représente l’espacement du réseau. Après application d’un processus d’extinction soudain dans les corrélations internes du potentiel de désordre, l’amplitude de Loschmidt correspondante peut être exprimée comme suit:

lorsqu’un état étendu initial est éteint dans un régime fortement corrélé \((\alpha _{f}=\infty )\). Ensuite, tous les états propres \(\left| \Psi _{m}(\alpha _{f})\right\rangle\) du hamiltonien post-quench sont délocalisés avec l’énergie propre \(E_{m}=\sqrt{2}\cos \left( \frac{2\pi }{N}m+\phi _{1}\right)\). Dans ce scénario, l’amplitude de Loschmidt peut être modifiée comme suit :

Dans la plage de grande taille du système, la phase \(\varphi =(\frac{2\pi }{N}m+\phi _{1})\) est distribuée aléatoirement entre \(-\pi\) et \(\pi\). Par conséquent, nous pouvons réécrire l’expression Eq. (11) comme suit:

où \(J_{0}(x_{s})\), est le premier type de fonction de Bessel d’ordre zéro, possède une série de zéros \(x_{s}\), avec \(s\in \mathbb {N}\). L’expression analytique de l’écho de Loschmidt est donnée par,

De cette expression, il est clair que l’écho de Loschmidt a une série de zéros aux moments critiques \(\tau ^{*}=x_{s}/\sqrt{2}\), avec s ensemble de racines positives. En petite limite s, les racines de \(J_{0}(x)\) peuvent être calculées approximativement par l’approximation de Stokes48,

L’apparition de zéros dans l’écho de Loschmidt indique les transitions de localisation, appelées transitions de phase dynamiques. Il est intéressant de mentionner que les états évolués dans le temps étendus du hamiltonien post-quench avec désordre corrélé (exposant de corrélation infinie) sont entièrement différents de ceux de l’état propre conventionnel (onde-plan) du système pur hamiltonien préquench. En conséquence, l’amplitude de Loschmidt – produit scalaire des états d’ondes planes et d’états évolués dans le temps étendus – disparaît à des moments critiques, signalant des transitions de phase dynamiques.

(Couleur en ligne) L’état complexe évolué dans le temps \(\psi _{c}\), du hamiltonien post-quench avec exposant de corrélation de modulation \(\alpha _{f}\sim \infty\), pour le système de tailles \(N=256\) (courbe noire), \(N=512\) (courbe bleue), et \(N=1024\) (courbe rouge) au temps critique \(\tau ^{*}=3,9033\). Les éléments \(\psi _{c}(\tau ^{*})\) forment des courbes circulaires avec le centre à l’origine dans le plan complexe et \(r=0,063\) (ligne noire), \(r=0,044\) (ligne rouge) et \(r=0,032\) (ligne bleue) sont leurs rayons correspondants. Encart : rayon des mêmes données en fonction de la taille du système à l’échelle log-log. Les données très bien ajustées avec une courbe, \(y=a + b/x\) (courbe pointillée rouge).

La figure 3 illustre l’évolution temporelle de l’écho de Loschmidt, lorsqu’un état fondamental pur initial (\(\varepsilon (\alpha _{i})=0\)) est éteint dans un régime désordonné corrélé. Ici, les calculs numériques sont effectués pour le système de taille \(N=512\) et la moyenne de l’échantillon est prise sur 1024 réalisations de désordre. Cependant, le plus grand \(\alpha _{f}\) lissera le profil aléatoire, et donc l’écho de Loschmidt en raison de l’absence du désordre effectif. Nous démontrons que l’écho de Loschmidt tend vers zéro pour \(\alpha _{f}<1\) après un certain intervalle de temps pour une réalisation donnée du potentiel désordonné. Typiquement, lorsqu’un état pur de système est éteint dans un état évolué dans le temps étendu, on peut s’attendre à un écho de Loschmidt unitaire, car les états préquench et post-quench sont tous deux des ondes planes. Au contraire, dans la limite \(\alpha _{f}\approx \infty\), l’écho de Loschmidt présente des singularités à l’échelle du temps, vérifiées par le résultat analytique (courbe pointillée magenta) obtenu dans la limite thermodynamique. Cette tendance singulière anormale de l’écho de Loschmidt caractérise les DQPT dans le système quantique trempé.

Afin de connaître l’origine de la transition de phase dynamique anormale, nous calculons les états propres de l’état évolué dans le temps du hamiltonien post-quench avec un exposant de corrélation de modulation infinie. Il est évident que les états propres d’un cristal parfaitement pur sont translationnellement invariants avec des amplitudes de probabilité s’étendant à tous les sites de réseau. Ces états étendus sont expliqués par les ondes planes, qui sont les états propres correspondants du hamiltonien du système avec spectre d’énergie \(E_{k}=2t\cos ka.\) Ces états propres sont

où k, désigne le vecteur d’onde situé dans la première zone de Brillouin avec \(k\in (-\frac{\pi }{a},\frac{\pi }{a}]\). Dans la Fig. 4, nous manifestons la distribution des éléments complexes d’état propre évolués dans le temps pour \(\alpha _{f}=1000\) avec différentes tailles de système à un moment critique \(\tau ^{*}=x_{2}/\sqrt{2}=3.9033\). À corrélation désordonnée infinie, les états propres sont parfaitement ordonnés (étendus), mais sont entièrement différents de ceux de l’état propre conventionnel. La moyenne des éléments d’onde plane est exactement égale à \(\sqrt{N},\) alors que la valeur moyenne des éléments d’état évolués dans le temps est proche de zéro. Il est important de noter que le poids de la valeur positive et négative des éléments d’état complexes est approximativement égal aux moments critiques, ce qui entraîne un chevauchement disparaissant entre l’onde plane et son état évolué dans le temps. En d’autres termes, l’amplitude de Loschmidt s’avère être,

dans la limite d’une force de corrélation de désordre post-quench infinie. Ici, \(\left| \psi _{c}(\tau ^{*})\right\rangle\), est l’état évolué dans le temps du hamiltonien post-quench avec désordre diagonal corrélé au moment critique. Dans l’encart de l’encart nous présentons la mise à l’échelle de taille finie de l’état évolué dans le temps au moment critique. Il est à noter que les rayons varient comme \(a+b/x\) (ligne pointillée rouge) obtenue en ajustant les données. Cela montre que les rayons de la courbe des éléments des états propres évolués dans le temps se rapprochent de zéro dans la limite thermodynamique.

De plus, la dynamique d’extinction sous le modèle d’Aderson corrélé pour différentes tailles de système est illustrée à la Fig. 5. Nous constatons que l’écho de Loschmidt diminue avec l’augmentation de la taille des systèmes après un certain intervalle de temps pour une force de corrélations finies. Cependant, l’écho de Loschmidt s’est avéré indépendant de la taille dans la limite de forte corrélation. Cette caractéristique universelle de l’écho de Loschmidt devrait être vraie tant que \(\alpha _{f}\) est suffisamment grand. De plus, nous analysons la dynamique d’extinction du système pour l’exposant de corrélation post-quench fini, comme le montre la Fig. 6. Dans le régime localisé, \(\alpha _{f} \lesssim 1\), l’écho de Loschmidt se désintègre en \(y=e^{-\ln {x}}\) avec la taille du système comme le montre la Fig. 6a,b. Cependant, pour \(\alpha _{f}= 0\), nous obtenons un écart clair par rapport à la courbe, indiquant la valeur finie non évanescente de l’écho de Loschmidt dans la limite thermodynamique, résultant du déplacement de la courbe avec une taille croissante comme le montre la Fig. 5. D’autre part, \(\alpha _{f} = 2\), l’écho de Loschmidt diminue initialement au minimum au point critique \(\tau ^{*} = 3,9033\), puis augmente jusqu’à un point fixe et diminue progressivement avec le temps comme le montre la Fig. 5c. Par conséquent, l’écho saturera jusqu’à un point fixe avec une taille de système croissante, comme illustré à la Fig. 6c. De plus, l’écho de Loschmidt devient universel dans la limite de corrélation de désordre forte comme le montre la Fig. 6d.

(Couleur en ligne) Échelle log-linéaire : L’évolution temporelle de l’écho de Loschmidt avec (a) \(\alpha _{f}=0\), (b) \(\alpha _{f}=0,5,\) (c) \(\alpha _{f}=2,\) et (d) \(\alpha _{f}=5\) pour différentes tailles de système \(N=128,\,256,\,\,\texte {et}\,\,512\) avec 2048 réalisations du désordre. L’état initial est fixé pour être l’état fondamental du hamiltonien précédé avec \(\varepsilon (\alpha _{i})=0\). Tout en augmentant la taille du système, l’évolution des échos de Loschmidt se désintègre de manière monotone pour \(\alpha _{f}<1\) après quelques intervalles de temps. Pour \(\alpha _{f}>1\), les échos de Loschmidt se désintègrent de manière monotone ou périodique jusqu’à zéro.

(Couleur en ligne) Échelle log-log: L’évolution temporelle de l’écho de Loschmidt en fonction de la taille des systèmes avec 2048 réalisations de désordre des données présentées dans la Fig. 5 aux moments critiques \(\tau ^{*} = 3.9033,~6.1191,\,\text{and}~8.3379\).

Passons au cas où un état fondamental initialement préparé du hamiltonien préquel avec désordre corrélé diagonal est éteint dans un état évolué dans le temps étendu du hamiltonien post-quench avec \(\varepsilon (\alpha _{f})=0\). Dans le régime fortement localisé (\(\varepsilon (\alpha _{i})\rightarrow \infty\)), on peut obtenir analytiquement l’évolution de l’écho de Loschmidt, \(\mathscr {L}(\tau )=\left| J_{0}(2\tau )\right| ^{2}\) dans la limite thermodynamique qui est en excellent accord avec les résultats rapportés dans la littérature23,25. Par conséquent, par construction, la moyenne d’ensemble des énergies sur site est nulle et la variance locale – l’amplitude du potentiel aléatoire – est indépendante du site et égale à l’unité41. La figure 7 montre l’écho de Loschmidt pour divers exposants de corrélation du hamiltonien préquench. On peut observer une décroissance oscillante des échos de Loschmidt avec un temps évolutif qui sont très bien adaptés à la fonction de mise à l’échelle,

où \(a_{0}\), \(a_{1},...,a_{6}\) sont les paramètres d’ajustement. Le premier terme de l’équation (17) est initialement dominant, où l’écho de Loschmidt se désintègre exponentiellement pendant un court intervalle de temps, puis oscillatoire après un certain intervalle de temps.

L’écho de Loschmidt se réduit initialement à une valeur minimale, puis commence à se désintégrer en oscillant avec l’intervalle de temps. Il est important de noter que pour un système fini fixe, l’écho de Loschmidt augmente avec les corrélations, tendant à l’unité dans la limite \(\alpha _{i}\rightarrow \infty\), où une structure sinusoïdale globale commence à se développer dans la configuration désordonnée. Dans ce cas, le système n’affiche aucune signature de transition de phase dynamique.

Un autre aspect important de la dynamique d’extinction concerne la mise à l’échelle de taille de l’écho de Loschmidt du système. Il s’avère être une fonction de décroissance exponentielle de la taille du système pour \(\alpha _{i}<1\) à des temps d’évolution fixes comme illustré dans la Fig. 8. Intuitivement, il se rapproche de zéro après un certain intervalle de temps dans la plage de limite thermodynamique. Plus important encore, l’écho de Loschmidt devient indépendant de la taille au point de transition \((\alpha _{i}\sim 1)\). Pour \(\alpha _{i}>1\), cependant, l’écho de Loschmidt semble croître exponentiellement avec les tailles du système pour \(\alpha _{i}>1\), et tend à l’unité dans la limite thermodynamique. De plus, les échos de Loschmidt sont très bien adaptés par,

où a et b sont des constantes réelles positives. L’expression (18) montre que la fonction de mise à l’échelle diminue pour \(\alpha _{i}<1\), reste constante pour \(\alpha _{i}\sim 1,\) et croît pour \(\alpha _{i}>1\), correspondant respectivement au régime localisé, critique et étendu du système. Des études numériques ont remarqué le lissage de l’amplitude du désordre avec l’augmentation de la taille du système40,49. Cependant, nous soutenons que ce lissage du paysage potentiel se produit pour \(\alpha _{i}>1\). Au contraire, on récupère le modèle d’Anderson avec désordre non corrélé pour \(\alpha _{i}<1\) avec l’augmentation de la taille du système. Nous attribuons cette structure comme l’une des raisons de l’émergence de la transition de délocalisation dans le système. De plus, en utilisant la formule de Thouless généralisée50, la longueur de localisation \(\xi\) du modèle d’Anderson corrélé pour \(\alpha \lesssim 1\) peut être calculée analytiquement comme suit41,42,

(Couleur en ligne) Échelle log-linéaire: L’évolution temporelle de l’écho de Loschmidt pour divers exposants de corrélation préquench \(\alpha _{i}\) avec la taille du système \(N = 512 \) et la moyenne de l’échantillon sur 2048 réalisations de désordre. Les échos de Loschmidt sont bien ajustés (courbes vertes en pointillés) par Eq. (17) pour les corrélations finies du potentiel de désordre.

(Couleur en ligne) Échelle logarithmique linéaire : Mise à l’échelle de l’écho de Loschmidt pour divers exposants de corrélation de préquelle \(\alpha _{i}\) au temps d’évolution critique \(\tau ^{*}=1,20238\) (panneau de gauche) et \(\tau ^{*}=2,76003\) (panneau de droite) et moyenne de l’échantillon sur 2048 réalisations de désordre. L’état initial est fixé pour être l’état fondamental du hamiltonien préquel avec un potentiel corrélé. Les échos de Loschmidt sont bien ajustés (courbes magenta) par Eq. (18) pour les corrélations finies. L’erreur statistique (symboles avec barres d’erreur) peut être estimée par les écarts-types de l’écho de Loschmidt avec les différentes tailles de système. Les données numériques sont linéarisées à l’aide d’une échelle logarithmique linéaire.

dans la limite thermodynamique à l’énergie E. Ce résultat a été vérifié numériquement en calculant la longueur de localisation à partir de la mise à l’échelle de la conductance41 et de la méthode du polynôme du noyau42. Il est évident que la longueur de localisation diverge comme \(\alpha \rightarrow 1\) pour toute valeur arbitraire de l’énergie de la bande, signalant l’existence d’une transition de délocalisation. Nos résultats soutiennent l’idée que la transition de délocalisation se produit à \(\alpha \sim 1\), dans la limite thermodynamique. Il s’avère que l’écho de Loschmidt peut également être utilisé comme technique théorique pour l’étude de la transition de phase de délocalisation dans le modèle d’Anderson corrélé.

En outre, l’exploration de l’analyse d’extinction quantique pour le scénario où un état fondamental initial du système de désordre corrélé est trempé dans un état évolué dans le temps du système avec un potentiel de désordre corrélé diagonal. La dynamique d’extinction entre deux hamiltoniens aléatoires indépendants avec \(\alpha _{i}=0\) et \(\alpha _{f}=5\), conduisant à une désintégration oscillante de l’écho de Loschmidt après un certain intervalle de temps comme le montre la Fig. 9 (panneau de gauche). Le résultat présente une ressemblance frappante avec les données présentées à la Fig. 7 où un état de référence \((\alpha _{i}=0)\) est éteint dans un état étendu évolué dans le temps du système avec un potentiel diagonal nul \((\varepsilon (\alpha _{f})=0)\). En effet, on pourrait s’attendre à des résultats similaires à ceux de l’état évolué dans le temps où les deux cas sont étendus. Cependant, on peut obtenir une petite déviation de l’écho de Loschmidt pour un système fini lorsque \(\alpha _{f}\) s’approche de la région critique. Dans l’encart nous montrons que l’écho de Loschmidt diminue exponentiellement jusqu’à zéro dans la limite thermodynamique. Dans le cas où \(\alpha _{i}=5\) et \(\alpha _{f}=0\), l’écho de Loschmidt se désintègre de manière monotone jusqu’à une valeur finie après un certain intervalle de temps, comme le montre la Fig. 9 (panneau de droite). Cependant, le système affiche des DQPT, caractérisés par la valeur de fuite de l’écho de Loschmidt dans la limite thermodynamique (encadré). De plus, les caractéristiques de mise à l’échelle favorables de l’écho de Loschmidt deviennent vitales, car elles permettent de prédire la nature du modèle d’Anderson corrélé.

Typiquement, l’écho de Loschmidt se désintègre de l’unité, oscille avec la même fréquence et la même amplitude d’amortissement après un certain intervalle de temps, si un état initialement étendu est éteint dans un régime fortement localisé23,24,25. Cependant, la dynamique d’extinction sous le modèle d’Anderson corrélé révèle que l’écho de Loschmidt montre qualitativement un comportement de décomposition similaire à différents moments critiques, si l’état étendu initial est éteint dans un régime fortement corrélé.

(Couleur en ligne) L’évolution temporelle de l’écho de Loschmidt pour \(\alpha _{i}=0\) et \(\alpha _{f}=5\) (panneau de gauche) et \(\alpha _{i}=5\) et \(\alpha _{f}=0\) (panneau de droite) avec la taille du système \(N=512\), avec une moyenne de plus de 2048 échantillons. Encarts : échelle de taille finie des échos de Loschmidt du temps d’évolution critique fixe correspondant \(\tau ^{*}=4,3269\) (point rouge). Les échos de Loschmidt sont bien ajustés (courbes pointillées magenta) par une fonction de décroissance exponentielle \(y=ae^{-bx},\) où a et b sont les paramètres d’ajustement. L’erreur statistique (symboles avec barres d’erreur) peut être estimée par les écarts-types de l’écho de Loschmidt avec les différentes tailles de système. Les données sont linéarisées à l’aide d’une échelle logarithmique linéaire dans les encarts.

Une feuille de route fascinante de la recherche est l’interaction mutuelle entre les corrélations dans les intégrales sautillantes et les énergies sur site. Comme on l’a montré, les corrélations dans le potentiel de désordre sur place peuvent déclencher les transitions de phase dynamique en fonction du paramètre de contrôle de corrélation et du processus de trempe. Un suivi intrigant de notre travail actuel serait l’étude des transitions de phase dynamiques dans le modèle avec intégrale de saut de corrélation de la loi de puissance.

Nous avons étudié la dynamique de non-équilibre du modèle d’Anderson corrélé 1D sans interaction où la dynamique d’extinction est induite par un changement brusque de la force des corrélations de désordre. Le système a présenté une transition de phase dynamique anormale lorsqu’un état fondamental pur initial est trempé dans un régime de désordre fortement corrélé. Dans cette limite, les corrélations de désordre induisent des singularités de type cuspide dans l’écho de Loschmidt à des moments critiques, qui sont confirmées par des calculs analytiques à la limite de la thermodynamique. En d’autres termes, le chevauchement entre l’onde plane et son état délocalisé évolué dans le temps présentait périodiquement des séries de zéros avec des temps critiques, reflétant les DQPT anormaux. En outre, le système a montré un comportement universel d’échelle de taille dans les fortes corrélations de désordre. Au contraire, l’écho de Loschmidt se désintègre de manière monotone pour le potentiel de bruit blanc post-extinction (état localisé évolué dans le temps). De plus, l’écho de Loschmidt s’est avéré dépendre de la taille pour le potentiel d’Anderson.

La dynamique entre les Hamiltoniens purs préquench et purs post-quench a également été étudiée. Il est souligné que l’écho de Loschmidt fait écho à la désintégration monotone avant un temps fini, puis subit une désintégration oscillatoire avec le temps, un état localisé initial (trouble de type Anderson) dans un régime étendu évolué dans le temps (potentiel sur site nul). L’écho de Loschmidt augmente quantitativement avec l’augmentation des corrélations de désordre, et l’approche de l’unité dans la limite de corrélation infinie. Cependant, la désintégration de l’écho de Loschmidt s’est améliorée (supprimée) en augmentant la taille du système pour un régime initialement localisé (délocalisé). En conséquence, le système a présenté les DQPT pour un état initialement localisé avec un trouble de type Anderson dans la limite thermodynamique. Alors que les échos de Loschmidt se sont avérés être une unité pour un état initialement délocalisé \((\alpha _{i}>1)\) dans la limite thermodynamique. De plus, le comportement de mise à l’échelle de l’écho de Loschmidt est mis en correspondance avec l’identification de la transition de phase de délocalisation induite par corrélation dans le modèle d’Anderson corrélé.

Les ensembles de données utilisés et/ou analysés au cours de la présente étude sont disponibles auprès de l’auteur correspondant sur demande raisonnable.

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N.A.K. et M.J. reconnaissent la bourse postdoctorale soutenue par l’Université normale du Zhejiang sous les subventions nos ZC304022980 et ZC304022918, respectivement. G.X. reconnaît le soutien de la NSFC dans le cadre des subventions nos 11835011 et 12174346.

Département de physique, Université normale du Zhejiang, Jinhua, 321004, République populaire de Chine

Niaz Ali Khan, Pei Wang, Munsif Jan et Gao Xianlong

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N.A.K. a développé le formalisme théorique, effectué les simulations analytiques et numériques, vérifié par M.J., P.W. et G.X., N.A.K. a écrit le manuscrit original, révisé par le P.W. et M.J., G.X. a financé et supervisé le projet. Tous les auteurs ont discuté des résultats et ont contribué au manuscrit final.

Correspondance avec Munsif Jan ou Gao Xianlong.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Khan, N.A., Wang, P., Jan, M. et coll. Transitions de phase dynamiques induites par corrélation anormale. Sci Rep 13, 9470 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-36564-9

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Reçu: 24 avril 2023

Acceptée: 06 juin 2023

Publication : 10 juin 2023

DEUX : https://doi.org/10.1038/s41598-023-36564-9

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