La vitesse de propagation du speckle optique

Scientific Reports volume 13, Numéro d’article: 9071 (2023) Citer cet article

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Que la vitesse de la lumière dans le vide soit constante est une pierre angulaire de la physique moderne. Cependant, des expériences récentes ont montré que lorsque le champ lumineux est confiné dans le plan transversal, la vitesse de propagation observée de la lumière est réduite. Cet effet est une conséquence de la structure transversale qui réduit la composante du vecteur d’onde de la lumière dans le sens de propagation, modifiant ainsi à la fois la vitesse de phase et de groupe. Ici, nous considérons le cas de la moucheture optique, qui a une distribution transversale aléatoire et est omniprésente avec des échelles allant du microscopique à l’astronomique. Nous étudions numériquement la vitesse de propagation plane à plan du speckle optique en utilisant la méthode d’analyse du spectre angulaire. Pour un diffuseur général à diffusion gaussienne sur une plage angulaire de 5°, nous calculons que le ralentissement de la vitesse de propagation du speckle optique est de l’ordre de 1% de la vitesse en espace libre, ce qui entraîne un retard temporel significativement plus élevé par rapport aux faisceaux de Bessel et Laguerre-Gaussiens considérés précédemment. Nos résultats ont des implications pour l’étude du speckle optique en laboratoire et en astronomie.

La vitesse de la lumière est une propriété fondamentale de la lumière, à la fois en termes d’ondes et de photons. Il est généralement admis que la vitesse dans le vide est une constante c, qui est l’une des unités fondamentales de la nature à partir de laquelle l’unité de longueur est définie1. La communauté de la physique optique, cependant, a été fascinée par le contrôle et l’observation des écarts par rapport à cette constante. Un exemple bien connu est le phénomène connexe de lumière lente et rapide2,3,4, où la vitesse de groupe des impulsions lumineuses est modifiée par un système matériel, y compris les vapeurs atomiques5, les atomes ultrafroids6, les fibres optiques7,8,9, les cristaux photoniques10, etc.11,12,13,14. La base de ces effets est généralement associée à la dispersion chromatique d’une impulsion lumineuse, qui tend à se propager ou à se déformer temporellement lorsqu’elle se propage à travers un milieu optique. Un mécanisme alternatif pour contrôler la vitesse de groupe de la lumière consiste à utiliser des paquets d’ondes invariants de propagation avec une structure spatio-temporelle sous-jacente15, tels que les impulsions de Bessel-X16, et les paquets d’ondes spatio-temporelles17, 18. Sur la base de ces phénomènes, diverses stratégies ont été proposées pour réaliser la propagation supraluminale19,20,21,22, et des vitesses de groupe arbitrairement réglables23,24,25,26 dans l’espace libre. De telles implémentations sont facilitées par le couplage espace-temps, où les impulsions lumineuses subissent une sculpture spatio-temporelle via une corrélation étroite entre les degrés de liberté spatiaux et temporels15, 18.

En plus de ces divers phénomènes, il a été reconnu plus récemment que le confinement transversal d’une onde ou la structure spatiale d’un seul photon modifiera sa vitesse de propagation, entraînant une vitesse de groupe subluminale27. Cette modification découle de la divergence ou de la convergence de la poutre en raison de la structure transversale de la poutre. Un tel ralentissement de la vitesse de propagation, induit par la structure spatiale, nous l’appelons « lumière lente structurée », qui peut se produire en l’absence de tout milieu. Pour un exemple simple, dans un guide d’ondes creux, les modes transversaux voyageant entre deux plans donnent une vitesse de groupe inférieure à c28. Selon la théorie des guides d’ondes, la relation entre la vitesse de phase vφ et la vitesse de groupe vg,z le long du guide d’ondes apparaît comme vφvg,z = c229. Cela signifie que, compte tenu de la réduction du vecteur d’onde axial projeté kz le long du guide par rapport au nombre d’onde fixe k0, il y a une vitesse de phase supérieure à c, et il en résulte une vitesse de groupe réduite, où \(k_{0} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \lambda }} \right. \kern-0pt} \lambda }\) et λ est la longueur d’onde optique. Il convient de souligner ici que ce ralentissement n’est pas causé directement par le guide d’ondes mais plutôt par les conditions aux limites que le guide d’ondes impose à la structure spatiale transversale.

Il convient de noter que l’effet de ralentissement de cette lumière structurée est distinct du changement de vitesse du groupe local près du foyer causé par le déphasage de Gouy30, 31, bien qu’ils soient tous deux liés aux restrictions spatiales transversales du faisceau. Le ralentissement de la lumière structurée persiste du champ proche au champ lointain, de sorte que le retard total pendant la propagation est beaucoup plus grand que l’impact de l’effet de phase de Gouy qui ne se produit qu’à proximité du foyer.

En coordonnées cylindriques, la relation de dispersion de l’espace libre prend la forme \(k_{z}^{2} + k_{r}^{2} = ({\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0pt} c})^{2}\), où \(k_{r} = k\sin \theta\) et \(k_{z} = k\cos \theta\) sont les composantes radiales et axiales du vecteur d’onde, ω est la fréquence temporelle et θ est l’angle du vecteur d’onde par rapport à l’axe du faisceau. En prenant le cas des faisceaux de type Bessel comme exemple, il existe trois façons alternatives de générer des faisceaux polychromatiques avec une localisation transversale qui conduisent à des propriétés de propagation distinctes. Premièrement, les ondes de Bessel-X avec un angle de propagation indépendant de la fréquence \(\theta\) qui possèdent une propagation sans diffraction et sans dispersion à des vitesses de groupe supraluminales20, deuxièmement, des paquets d’ondes spatio-temporelles invariants de propagation avec un couplage espace-temps parabolique \(k_{r} \propto \sqrt {\left| {\omega - \omega_{0} } \right|} \) qui conduit à des vitesses de groupe arbitraires dans l’espace libre (ω0 est la fréquence centrale)32, et enfin à des faisceaux pulsés de Bessel-Gauss avec un vecteur d’onde radiale indépendant de la fréquence kr voyageant à des vitesses de groupe subluminales dans l’espace libre33, 34. Les ondes Bessel-X générées via axicon et les paquets d’ondes spatio-temporelles 3D conservent un profil spatio-temporel en forme de X en raison du couplage espace-temps avec le profil transversal de type Bessel.

Pour illustrer les différences, dans le cas des ondes de Bessel-X, le couplage espace-temps prend la forme de \({{k_{z} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{z} } k}} \right. \kern-0pt} k} = \cos \alpha\), où α est l’angle axicon, conduisant à une valeur supraluminale pour la vitesse de phase et la vitesse de groupe, c’est-à-dire \({{v_{\phi } = v_{g} = c} \mathord{\left/ {\vphantom {{v_{\phi } = v_{g} = c} {\cos \alpha }}} \right. \kern-0pt} {\cos \alpha }}\). Au contraire, les faisceaux pulsés de Bessel-Gauss synthétisés à l’aide d’une fente annulaire ou d’un élément diffractif équivalent sont dotés d’une fréquence spatiale kr pour toutes les fréquences temporelles ω, conduisant à une propagation dispersive à des vitesses de groupe subluminales dans l’espace libre34. En raison du spectre spatial fixe kr sur toute la largeur spectrale dans ce dernier cas, à la limite quasi-monochromatique, on peut considérer ces faisceaux comme des champs structurés spatialement sans tenir compte de leur corrélation spatio-temporelle27. Dans le régime paraxial, contrairement aux paquets d’ondes spatio-temporelles dont la vitesse de groupe est accordable sur une large gamme de valeurs32, la variation des vitesses de groupe des ondes de Bessel-X et des faisceaux pulsés de Bessel-Gauss de c est limitée par l’ouverture numérique (NA) du système19, 20.

Au-delà des faisceaux de Bessel, plus généralement, lorsque l’on considère la vitesse de groupe ou des mesures similaires pour la vitesse de propagation d’une impulsion de longueur finie, il est important de reconnaître que toute impulsion de longueur finie a un écart de valeurs k0, bien que potentiellement très faible. A cet égard, il est essentiel d’examiner les dérivées des différents composants de k par rapport à k0. Lors de la génération d’un faisceau lumineux structuré, deux approches différentes doivent être envisagées. La première de ces approches est lors de l’utilisation d’une optique réfractive ou réfléchissante où, en ignorant la dispersion, les composantes transversales de k, c’est-à-dire kx et ky échelle linéairement avec k0. La seconde de ces approches est lors de l’utilisation d’une optique diffractive où la composante transversale de k est indépendante de k0. Dans notre cas, nous considérons la deuxième de ces deux approches où la diffractive est implémentée à l’aide d’un modulateur spatial de lumière (SLM), dans son mode hors axe. Tout au long du reste de ce travail, nous supposons le cas où la composante transversale de k est indépendante de k0.

Au cours des dernières années, des analyses théoriques et des démonstrations expérimentales ont été effectuées pour révéler l’effet de la lumière lente structurée appliquée aux faisceaux de Bessel, aux faisceaux focalisés27, 35, aux faisceaux Laguerre-Gaussiens (LG)36, 37 et l’effet intrinsèque du moment angulaire orbital (OAM)38. Par exemple, le ralentissement observé expérimentalement, ou le retard de groupe correspondant, dans les expériences de Giovannini27 est d’environ une partie sur 105 par rapport aux valeurs de référence. Elle est limitée par une petite divergence spatiale des faisceaux, qui correspond aux trajectoires d’inclinaison des rayons optiques dans l’optique géométrique39. Ce ralentissement d’un faisceau lumineux structuré a été montré à l’échelle avec le carré de sa divergence, exprimé quantitativement comme \(\thêta = {{k_{r} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r} } {k_{0} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0} }}\) dans l’approximation du petit angle27. La divergence maximale de la lumière est limitée par l’ouverture numérique du système optique de support qui est définie comme le rapport entre l’ouverture limite et la distance de cette ouverture. Pour calculer le délai associé à cette réduction de la vitesse de propagation, il faut également tenir compte de la distance sur laquelle la propagation se produit. Par conséquent, pour que des faisceaux lumineux structurés soient produits et détectés avec une ouverture fixe, la combinaison de l’échelle du ralentissement et de la distance de propagation signifie que le délai temporel maximal évolue inversement avec la distance de propagation, c’est-à-dire qu’il s’agit d’un effet à courte portée. En prenant le faisceau de Bessel comme exemple, pour un rayon fini, une distance de propagation sans diffraction plus longue est maintenue par un angle de cône plus petit40, ce qui réduit l’effet de ralentissement. Dans ce présent travail, nous ne considérons pas un faisceau spécifiquement structuré, mais plutôt le cas général du mouchetage optique aléatoire, qui peut être créé sur un très grand champ de vision et avec de longues distances de propagation permettant la possibilité de retards temporels importants.

Le speckle optique provient de l’interférence entre les distributions aléatoires des composantes des ondes planes, telles que générées par la diffusion de la lumière à partir de surfaces rugueuses ou la propagation à travers des diffuseurs troubles41. Par exemple, lorsqu’un laser est incident sur un objet tel que du verre dépoli ou un écran de diffusion, la lumière transmise ou réfléchie serait observée avec un motif granulaire à échelle fine. Selon le principe de Huygens-Fresnel, le mouchetage optique résultant de la diffusion de la lumière cohérente peut être considéré comme l’interférence causée par différents points de diffusion qui agissent comme de nouvelles sources d’ondes quasi sphériques individuelles. Comme l’angle solide sous-tendu par le système de détection est suffisamment petit, chaque onde sphérique dans le volume de l’espace autour de l’ouverture de visualisation est approchée par une onde plane. Par conséquent, l’approximation onde plane est largement utilisée pour simuler mathématiquement le mouchetage optique42, 43. Dans ce travail, nous modélisons le mouchetage optique comme une superposition d’un grand nombre d’ondes planes avec des phases et des directions aléatoires, comme le montre la Fig. 1a. Le motif d’intensité de la moucheture a un aspect granuleux, où les points lumineux et les points sombres proviennent respectivement de l’interférence constructive et destructrice. En particulier, le centre de chaque point sombre est une singularité de phase, et en 3 dimensions, ces filaments sombres se faufilent à travers le champ de mouchetures créant des réseaux très compliqués de lignes de vortex et de boucles44,45,46. Intuitivement, le spectre angulaire du champ lumineux peut être mappé à l’espace directionnel des vecteurs d’onde (k-espace), c’est-à-dire avec une correspondance d’amplitude au spectre k, où chaque point représente une onde plane, à laquelle est assignée des composantes projetées transversales aléatoires (kx et ky), comme le montre la Fig. 1b. La composante radiale non nulle correspondante \(k_{r} = \sqrt {k_{x}^{2} + k_{y}^{2} }\) produit une modification de la composante axiale moyenne \(\left\langle {k_{z} } \right\rangle = \sqrt {k_{0}^{2} - \left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle }\), où \(\left\langle {...} \right\rangle\) désigne l’espérance statistique sur le k-spectre.

Moucheture optique dans l’espace libre et k-espace. (a) La superposition entre un ensemble suffisamment grand d’ondes planes dirigées et de phases aléatoires est une approximation du speckle optique créé par la diffusion d’un faisceau laser à partir d’un diffuseur. b) le spectre k du speckle optique et la projection d’un des points dans l’espace directionnel des vecteurs d’onde.

Pour caractériser la vitesse de propagation du mouchetage optique, nous introduisons les vitesses de phase et de groupe qui sont moyennées sur toutes les composantes de l’onde La vitesse que nous avons précédemment montrée correspond au temps que la lumière ou les photons prennent pour voyager d’un plan à l’autre. Différente de la définition conventionnelle de la vitesse de groupe47, la vitesse de groupe spatialement moyenne fait référence à l’enveloppe d’énergie de déplacement d’un groupe d’ondes planes avec un petit écart dans les directions (c’est-à-dire les composantes spatiales dans le spectre k) plutôt que dans les fréquences ou les nombres d’onde (c’est-à-dire les composantes temporelles dans le spectre des fréquences). La vitesse de phase spatialement moyenne est alors donnée par \(v_{\phi } = c \cdot {{k_{0} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{0} } {\left\langle {k_{z} } \right\rangle }}} \right. \kern-0pt} {\left\langle {k_{z} } \right\rangle }}\) par la valeur moyenne de kz. Pour un faisceau structuré en espace libre, il semble raisonnable que la vitesse moyenne du groupe et la vitesse de phase aient la même relation que dans la théorie des guides d’ondes creux, c’est-à-dire \(v_{\phi } v_{g,z} = c^{2}\). La condition est mieux satisfaite lorsque nous supposons que la projection radiale du vecteur d’onde kr dans le speckle optique analysé ici est indépendante de sa fréquence angulaire ω. La vitesse moyenne spatiale résultante du groupe le long de z est donc donnée par

Cela signifie que les faisceaux structurés avec une valeur d’espérance non nulle de \(k_{r}^{2}\), dont le speckle optique est un exemple, connaîtront une vitesse de propagation réduite, c’est-à-dire vg,z < c.

Nous soulignons que le champ optique considéré ici est quasi-chromatique, c’est-à-dire que les fréquences du groupe d’ondes sont regroupées dans une région très étroite autour de la fréquence principale. Le champ doté de \({k}_{r}\) fixe subit toujours une dispersion de vitesse de groupe (GVD) lorsque le faisceau d’entrée est pulsé. C’est une autre distinction entre l’effet de la lumière lente structurée et le contrôle de la vitesse de groupe avec des paquets d’ondes spatio-temporelles, ce qui entraîne une propagation sans dispersion48, 49. Cependant, dans la lumière lente structurée, la quantité de GVD est insignifiante par rapport au retard de groupe différentiable \(\tau_{DGD} = L\left| {\frac{1}{c} - \frac{1}{{v_{g} }}} \right|\) acquis par cette impulsion, où L est la distance de propagation axiale. On peut montrer que pour l’impulsion de la largeur de bande spectrale de Δω et le vecteur d’onde spatial kr, le rapport de l’élargissement de l’impulsion Δτ au retard de groupe différentiable \(\tau_{DGD}\) est proportionnel à \(\frac{\Delta \omega }{{\omega_{0} }}\), qui est au régime quasi-monochromatique est négligeable, c’est-à-dire \(\frac{\Delta \tau }{{\tau_{DGD} }} \sim \frac{\Delta \omega }{{\omega_{0} }} \ll 1\)49, 50.

Comme indiqué précédemment, pour générer expérimentalement une moucheture optique avec des composants kr indépendants de k0, il faut des éléments diffractifs, par exemple des motifs de réseau superposés téléchargés sur SLM. Pour une onde plane randomisée unique produite par un hologramme de motif de réseau avec séparation des franges d, les composantes transversales résultantes kx (ky) sont 2π/dx (2π/dy), et kr est indépendant de la longueur d’onde. Chaque hologramme d’onde plane est assigné à trois variables individuelles: l’angle polaire, l’angle azimutal et le décalage de phase, où les angles polaires sont distribués avec un profil gaussien, et les angles azimutaux et les décalages de phase sont un bruit uniforme. L’hologramme de phase résultant téléchargé sur SLM comprend les vecteurs d’onde du moucheturage optique en combinant les motifs de réseau.

Pour modéliser numériquement un tel mouchement optique, nous définissons une grille bidimensionnelle finie dans le k-espace transversal, où chaque point décrit une onde plane inclinée par θx et θy par rapport à l’axe de propagation. Selon le théorème central limite51, les superpositions d’ondes infiniment nombreuses tendent vers des fonctions aléatoires gaussiennes52. Les ensembles d’harmoniques planes sont asymptotiquement gaussiens, ce qui signifie que la distribution de densité de probabilité de chaque direction inclinée (θx et θy) suit une distribution gaussienne 2D, comme le montre la Fig. 2a. Notre simulation de moucheture optique est basée sur une superposition de 2000 ondes planes réparties aléatoirement en direction et en phase, et chacune ayant une amplitude gaussienne de profil. Leur distribution dans le k-espace est soumise à une distribution de densité gaussienne, caractérisée par une divergence de sin σθ dans l’espace libre, où σθ est l’écart-type des angles inclinés des vecteurs d’onde. Un exemple typique pour σθ = 5° est calculé à la Fig. 2b. Le profil d’intensité résultant du moucheturage optique dans le champ lointain est représenté à la Fig. 2c. En effectuant une transformée de Fourier 2D pour l’amplitude complexe du champ de speckle, son spectre k est obtenu comme le montre la Fig. 2d, où les coordonnées sont divisées par le nombre d’onde initial k0. On peut voir que le spectre k de la moucheture optique a une enveloppe de densité gaussienne 2D, qui dépend de la distribution des directions inclinées des vecteurs d’onde dans la Fig. 2b. Plus important encore, dans le régime paraxial, l’effet de la lumière se propageant sur z dans l’espace libre est simplement un changement de phase dans les composantes de son spectre angulaire, puis puisque le spectre k est équivalent mathématiquement au module du spectre angulaire, le spectre k du speckle optique est invariant de propagation, ce qui signifie que son ralentissement persiste sur des distances arbitrairement longues.

Exemple de génération numérique de mouchetures optiques. (a) Distribution de densité de probabilité gaussienne des directions inclinées dans l’espace k. b) Points de direction ayant une densité gaussienne d’écart type de 5°. (c) Profil d’intensité de la moucheture optique créée par l’interférence entre ondes aléatoires gaussiennes avec des directions telles que (b). (d) Calcul du spectre k du champ de speckle par transformée de Fourier 2D de son amplitude complexe.

Le mouchetage optique est généralement caractérisé par sa taille latérale, qui fait référence à l’échelle de longueur la plus basse à laquelle le faisceau est corrélé53. En particulier, pour un champ de speckle entièrement développé créé par une surface de diffusion, la taille du speckle augmente avec la distance de la surface au plan d’observation54, 55. Du point de vue des interférences d’ondes planes, plus l’angle incliné est grand, plus le gradient variable de phase transversale est grand, plus les franges d’interférence sont denses. Au sens de Fourier, les propriétés statistiques de grande complexité dans l’espace réel correspondent à un spectre angulaire étendu. Cela signifie que la gamme k-spectre des mouchetures est négativement corrélée avec la taille des mouchetures.

Pour évaluer le degré de ralentissement de cette moucheture optique créant numériquement, nous divisons le spectre k dans la Fig. 2d radialement selon les échelles uniformément équidistantes de 1000 sur l’axe \({{k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) axe. En additionnant et en normalisant toutes les amplitudes avec les régions d’anneaux individuelles séparées du spectre k, chaque anneau est calculé comme un point de valeur avec une probabilité globale normalisée le long de l’axe \({{k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\), comme le montre la Fig. 3. Physiquement, chaque point discret représente la probabilité d’une onde plane qui apparaît dans un \({{\Delta k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) Région annulaire de k-espace, où \(\Delta k_{r}^{2}\) est la valeur de division sur l’axe. Dans ce cas (σθ = 5°), la valeur \({{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) est calculée comme 0,022465, puis la vitesse de groupe spatialement moyenne d’une telle moucheture optique est calculée par Eq. (1) comme \(v_{g,z} \approx 0,9887c\). Cela signifie que la vitesse de propagation d’une moucheture optique avec la divergence gaussienne avec un écart-type de 5° correspond à un ralentissement de 1,13% dans l’espace libre.

Distribution statistique des composants inclinés dans le mouchetage optique. Les points discrets représentent la distribution de probabilité des composantes du spectre k calculées le long des échelles de proportion radiale carrée. La courbe solide est la distribution théorique de densité de probabilité de proportion radiale carrée à partir d’un spectre angulaire gaussien continu idéal.

En plus de l’échantillonnage discret du spectre k du speckle optique à titre d’exemple, une distribution de densité de probabilité continue de proportion radiale carrée \({{k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) peut être déduit mathématiquement du spectre angulaire gaussien comme suit :

où sin σθ fait à nouveau référence à la divergence de moucheture optique. La figure 3 montre un bon ajustement entre la courbe théorique de l’équation (2) et les points d’échantillonnage d’un spectre k typique de la Fig. 2d.

Nous effectuons une analyse numérique de la relation entre l’effet de ralentissement en fonction de la divergence du moucheturage optique. En particulier, la divergence fait référence à l’angle d’étalement, qui décrit l’écart type des angles inclinés des vecteurs d’onde, comme le montre l’encart de la Fig. 4. En ajustant progressivement σθ de 0,5° à 5° à des intervalles de 0,5°, nous calculons la valeur \({{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) et le ralentissement correspondant, comme indiqué à la Fig. 4. Pour chaque cas, les différences dans la génération de nombres aléatoires distribués gaussiens dans une plage divergente entraîneraient une variation du ralentissement prévu, et donc la barre d’erreur est dérivée de l’exécution du calcul 8 fois en utilisant la méthode de Fig. 3. Comme prévu, l’effet de ralentissement prévu devient plus important à mesure que la divergence augmente.

Quantifier numériquement l’effet de ralentissement de la moucheture optique. (a) Valeurs attendues de proportion radiale carrée et (b) degré de ralentissement sous différentes divergences de mouchetures optiques. L’encart est un schéma de divergence de la moucheture optique où σθ est le demi-angle d’étalement qui décrit les composantes inclinées de l’onde plane.

Au-delà des simulations numériques décrites ci-dessus, l’expression théorique de l’effet de ralentissement en a également été déduite. Selon la distribution de densité de probabilité de la proportion radiale carrée \({{k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) dans Eq. (2), sa valeur attendue est calculée comme suit :

où l’infini de la limite supérieure dans l’intégrale n’est mathématiquement significatif que pour sa normalisation dans l’espace entier, alors que plus strictement en physique, la limite supérieure devrait être 1 puisque kr < k0. En clair, \({{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) est proportionnel au carré de la divergence de moucheture optique, voir la courbe pleine de la Fig. 4a. En utilisant Eq. (1), pour les petits angles σθ, le degré de ralentissement du speckle optique est théoriquement calculé comme suit :

La figure 4b indique la concordance entre la courbe théorique et les valeurs moyennes de chaque résultat calculées par une méthode statistique discrète. Notez que l’équation (4) ne s’applique qu’au cas de faible NA pour assurer une approximation paraxiale. De manière significative, le ralentissement du mouchetage optique peut atteindre de l’ordre de 1% même avec une faible divergence de faisceau. Sur la plage de plusieurs mètres, le retard temporel du speckle optique devrait ainsi être augmenté de trois ordres de grandeur pour la même distance de déplacement par rapport aux faisceaux de Bessel ou focalisés précédemment mesurés27.

Pour anticiper le ralentissement observable dans un système de détection pratique, nous considérons le rôle que joue l’ouverture du détecteur. Le NA est une restriction sur k-espace lorsque le mouchetage optique est observé par un détecteur ou nos yeux, comme le montre l’encart de la Fig. 5. Lorsque l’on considère la restriction sur la collecte d’harmoniques spatiales complètes de mouchetures optiques par le système de détection, la limite supérieure de l’intégrale dans Eq. (3) est remplacée par NA2 à partir de l’infini. Dans les paramètres d’initialisation du calcul ici, la taille du faisceau du profil d’intensité distribué par Gauss du speckle optique est réglée sur 2 mm et son demi-angle d’étalement est réglé sur 5°. La figure 5 montre le degré de ralentissement calculé sous différents NA, où la ligne pointillée prédite par Eq. (4) se réfère au cas idéal sans restriction de NA, et la courbe solide est prédite par Eq. modifié (3), et les points de données sont obtenus avec 8 calculs en filtrant l’amplitude complexe du champ de speckle dans le spectre k. Étant donné que le NA est une restriction de la gamme maximale du spectre angulaire, le spectre angulaire en dehors de cette plage est filtré, ce qui est analogue à un filtrage passe-bas tandis que les composantes supérieures du spectre k donnent un ralentissement plus important. Cela signifie que la réduction de la NA du système de détection réduira évidemment l’effet de ralentissement correspondant, comme le montre la Fig. 5. En revanche, une ouverture de faisceau, c’est-à-dire une restriction transversale à la propagation de la lumière dans l’espace réel, n’aurait pas d’impact drastique sur l’effet de ralentissement puisque des harmoniques spatiales entières peuvent passer l’ouverture, mais la restriction de l’ouverture du faisceau réduirait la résolution du spectre k du champ en raison de la correspondance entre la taille maximale du faisceau et le minimum de l’espace k. Notez que l’effet de ralentissement structuré analysé dans ce travail est une propriété globale. Cependant, lorsque l’on observe le grain local de moucheture optique, l’effet de ralentissement structuré est préservé même dans une petite région d’intérêt, car tout kr transversal pourrait contribuer au comportement de la lumière dans cette région.

Restrictions du système pratique sur l’effet de ralentissement du mouchetage optique lorsque le moucheturage lui-même a une divergence de 5° et le détecteur a un NA limitant. Degré de ralentissement calculé sous différentes ouvertures numériques (NA) du système de détection. L’encart est un schéma d’un système de détection pour observer la propagation plane à plan du moucheturage optique.

En conclusion, nous avons raisonné que le ralentissement des faisceaux lumineux structurés dans l’espace libre27 s’étend au-delà des faisceaux de Gaussiens focalisés et de Bessel considérés dans ce travail comme incluant une structuration aléatoire telle que le mouchetage optique. Dans tous les cas, le ralentissement provient d’une composante non nulle du vecteur d’onde transversal qui réduit la composante axiale du vecteur d’onde en dessous de la valeur de l’espace libre, de l’onde plane. Comme dans le cas d’un guide d’ondes creux, cette réduction augmente la vitesse de phase le long de l’axe optique au-dessus de c, ce qui réduit la vitesse du groupe en dessous de c. Étant donné que la distribution angulaire des vecteurs d’onde décrivant un faisceau ne change pas lors de la propagation dans l’espace libre, ce ralentissement n’est pas limité au voisinage du foyer, mais persiste dans le champ lointain. L’ampleur du ralentissement dépend de l’ouverture numérique limite associée à la génération, à la transmission et à la détection, la valeur la plus faible étant retenue.

Dans notre analyse, nous nous sommes limités aux coordonnées cartésiennes ou radiales qui conviennent à une configuration optique avec une ouverture numérique modeste. Cependant, nous notons que le ralentissement des échelles prédites quadratiquement avec l’ouverture numérique et bien qu’en dehors de la portée de ce travail, ou même de toute expérience à ce jour, soulève la question de savoir quel pourrait être l’effet équivalent pour les scénarios où le mouchetage sous-tend sur un grand angle solide tel que la microscopie confocale 4Pi56.

Un autre exemple intrigant de systèmes à grande ouverture numérique présentant des mouchetures est l’anisotropie du fond diffus cosmologique (CMB). Ceci présente de nombreux parallèles avec la formation de mouchetures, où les photons micro-ondes circulent librement de la surface de la dernière diffusion à l’observateur et dont l’anisotropie intrinsèque est reconnue comme les petites fluctuations de température imprimées sur la surface de la dernière diffusion57. Selon les données mesurées du spectre de puissance58, les fluctuations de température du CMB montrent une fonction d’échelle angulaire. Se pourrait-il que les modèles de CMB subissent des effets de ralentissement similaires à ceux du moucheture à NA élevé et plus que les motifs de CMB vus à partir de différentes échelles angulaires puissent avoir des temps d’arrivée différents?

Enfin, pour les NA faibles et élevés, il est intéressant de réfléchir au fait que l’encodage spatial des données sur la structure transversale d’un faisceau lumineux nécessite une composante transversale au vecteur d’onde et donc un ralentissement associé. Un tel ralentissement semble donc être une conséquence inévitable de la structure spatiale telle qu’exprimée en termes de contenu d’information spatiale ou d’entropie de la lumière.

Ces considérations font l’objet de nos études en cours.

Les codes MATLAB pour l’ensemble complet des résultats sont disponibles en ligne dans le référentiel de données de la bibliothèque de l’Université de Glasgow (http://dx.doi.org/10.5525/gla.researchdata.1414).

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M.J.P. remercie la Royal Society pour l’attribution d’une chaire de recherche (RSRP/R1/211013P) et le soutien financier de l’EPSRC du Royaume-Uni (QuantIC EP/M01326X/1, EP/T00097X/1).

École de physique et d’astronomie, Université de Glasgow, Glasgow, G12 8QQ, Royaume-Uni

Zhenyu Wan et Miles J. Padgett

CREOL, Collège d’optique et de photonique, Université de Floride centrale, Orlando, FL, 32186, États-Unis

Mouratat Yessenov

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M.J.P. a développé le concept et supervisé le projet. Z.W. et M.J.P. ont conçu et mis en œuvre la méthodologie. Z.W. a effectué le calcul et recueilli les données. Z.W., M.Y. et M.J.P. ont écrit et révisé le manuscrit.

Correspondance avec Miles J. Padgett.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Wan, Z., Yessenov, M. et Padgett, M.J. La vitesse de propagation du mouchetage optique. Sci Rep 13, 9071 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35990-z

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Reçu: 21 mars 2023

Acceptée: 26 mai 2023

Publication : 5 juin 2023

DEUX : https://doi.org/10.1038/s41598-023-35990-z

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